На самом деле, сила Архимеда является следствием из давления жидкости или газа (да-да, сила Архимеда действует и в газе, по этой причине летают воздушные шары). Рассмотрим следующую картинку:
Мы рассмотрим случай, когда тело полностью погружено в воду, все остальные случаи рассматриваются абсолютно так же. Заметим, что так как наше тело погружено полностью в жидкость, то давление, действующее на него, оказывается сверху и снизу (на верхнюю грань кубика и на нижнюю).
$\begin{cases}p_1 = \rho gh_1 - \text{на верхнюю грань кубика}\\p_2 = \rho gh_2 - \text{на нижнюю грань кубика}\end{cases}$
Заметим, что давление зависит от высоты столба жидкости, значит p2 > p1. Вычтем из второго уравнения первое: $p_2 - p_1 = ρg(h_2 - h_1)$, преобразуем: $\Delta p = \rho g\Delta h$ , а теперь домножим на площадь основания кубика слева и справа: $ΔpS = ρgSΔh$. ΔpS – это сила. Почему так? По определению, давление – это:
$$ p = \frac{F}{S} \Rightarrow F = pS $$
Думаю, с этим разобрались. А что такое $SΔh$? Это объём нашего кубика, потому что
$Δh = h_2 - h_1$ – высота кубика. Что же мы в итоге получили:
$$ \Delta p = \rho g \Delta h \Rightarrow F = \rho g V \Rightarrow F_A = \rho_{ж} \ gV_{п.ч.} $$
ρж - плотность жидкости (газа),
g - ускорение свободного падения,
Vп.ч. - объём погруженной части тела.
Тело, погруженное в жидкость, вытесняет объём жидкости, равный объёму погружен-ной части.
